II вариант. 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = x² + 2x − 2 и y = −x − 2; б) y = x³ + 7x² и y = x² − 9x.

а) Находим точки пересечения: \(x^2+2x-2=-x-2\), поэтому \(x(x+3)=0\), и пределы интегрирования — \(-3\) и 0. На этом промежутке прямая выше параболы.

\[S=\int_{-3}^0\bigl((-x-2)-(x^2+2x-2)\bigr)\,dx=\int_{-3}^0(-x^2-3x)\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right]_{-3}^0=\frac{9}{2}.\]

б) Точки пересечения определяются уравнением \(x^3+7x^2=x^2-9x\), откуда \(x(x+3)^2=0\). Между \(-3\) и 0 график \(y=x^2-9x\) расположен выше.

\[S=\int_{-3}^0\bigl((x^2-9x)-(x^3+7x^2)\bigr)\,dx=\int_{-3}^0(-x^3-6x^2-9x)\,dx=\left[-\frac{x^4}{4}-2x^3-\frac{9x^2}{2}\right]_{-3}^0=\frac{27}{4}.\]

Ответ: а) \(\frac{9}{2}\); б) \(\frac{27}{4}\).