1. а) Объединяем интегралы по соседним промежуткам:

\[\int_1^2x^2\,dx+\int_2^3x^2\,dx=\int_1^3x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3=\frac{26}{3}.\]

б) Сумма интегралов равна интегралу по объединённому промежутку:

\[\int_{-\pi}^3\sin x\,dx+\int_3^\pi\sin x\,dx=\int_{-\pi}^\pi\sin x\,dx=0,\]

так как функция \(\sin x\) нечётная, а пределы симметричны относительно нуля.

2. а) По формуле \(\cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A-B)\):

\[\int_\pi^{3\pi/2}\cos(8x-7x)\,dx=\int_\pi^{3\pi/2}\cos x\,dx=[\sin x]_\pi^{3\pi/2}=-1.\]

б) Объединяем интегралы и сокращаем слагаемые \(\lg x\):

\[\int_1^3(2x^2-3x)\,dx=\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right]_1^3=\frac{16}{3}.\]

Ответ: 1) а) \(\frac{26}{3}\); б) 0. 2) а) −1; б) \(\frac{16}{3}\).

Поделись с друзьями