Хорда длиной 30 см, перпендикулярная диаметру, делит его в отношении 1:9. Найдите длину хорды.

Давай решим эту задачу, используя свойства хорд и диаметра окружности. Представим себе окружность с диаметром, и хорду, перпендикулярную этому диаметру. Поскольку хорда перпендикулярна диаметру, она делится диаметром пополам. Это важное свойство. Пусть диаметр делится хордой на отрезки длиной $$x$$ и $$9x$$. Тогда вся длина диаметра равна $$x + 9x = 10x$$. Значит, радиус окружности равен половине диаметра, то есть $$5x$$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной хорды, отрезком диаметра от центра окружности до хорды и радиусом окружности. Длина половины хорды равна $$30 / 2 = 15$$ см. Расстояние от центра окружности до хорды равно разности между радиусом и меньшим отрезком диаметра, то есть $$5x - x = 4x$$. Теперь применим теорему Пифагора: $$(4x)^2 + 15^2 = (5x)^2$$ $$16x^2 + 225 = 25x^2$$ $$9x^2 = 225$$ $$x^2 = 25$$ $$x = 5 \text{ см}$$ Тогда диаметр окружности равен $$10x = 10 \cdot 5 = 50$$ см. Ответ: Длина диаметра равна 50 см.