14. Группа туристов за первый день одиннадцатидневного похода прошла на лодках 5 км, а за каждый последующий - на одно и то же количество километров больше, чем за предыдущий день. Известно, что за последние 6 дней группа прошла 97,5 км. Сколько всего километров группа туристов прошла на лодках за 11 дней?

Пусть d - разность, на которую увеличивается расстояние каждый день. Пусть \(a_1\) - расстояние в первый день, \(a_1 = 5\). Расстояние, пройденное за последние 6 дней, равно сумме арифметической прогрессии из 6 членов, начиная с 6-го дня: \(S_6 = \frac{2a_6 + 5d}{2} \cdot 6 = 97.5\) Где \(a_6 = a_1 + 5d = 5 + 5d\). \(S_6 = \frac{2(5 + 5d) + 5d}{2} \cdot 6 = 97.5\) \((10 + 10d + 5d) \cdot 3 = 97.5\) \(10 + 15d = 32.5\) \(15d = 22.5\) \(d = 1.5\) Теперь найдем общую сумму за 11 дней: \(S_{11} = \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11\) \(S_{11} = \frac{2(5) + 10(1.5)}{2} \cdot 11\) \(S_{11} = \frac{10 + 15}{2} \cdot 11\) \(S_{11} = \frac{25}{2} \cdot 11 = 137.5\) Ответ: 137.5 км.