3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из катетов на 3 см меньше другого. Найдите катеты треугольника.

Ответ: 9 см, 12 см

1. Пусть один катет равен x см, тогда другой катет равен (x + 3) см. Гипотенуза равна 15 см.
2. По теореме Пифагора: \[x^2 + (x + 3)^2 = 15^2\]
3. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[x^2 + x^2 + 6x + 9 = 225 \Rightarrow 2x^2 + 6x - 216 = 0\]
4. Разделим уравнение на 2: \[x^2 + 3x - 108 = 0\]
5. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441\] \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 21}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 21}{2} = -12\] Так как длина катета не может быть отрицательной, то x = 9.
6. Найдем длину другого катета: \[x + 3 = 9 + 3 = 12\]

Ответ: 9 см, 12 см