3249. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объём увеличится на 19. Найдите ребро куба.

Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда объём куба равен $$V = a^3$$.

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то новое ребро будет равно $$(a + 1)$$, а новый объём будет $$V_{new} = (a + 1)^3$$.

По условию, новый объём больше исходного на 19, то есть $$V_{new} = V + 19$$.

Подставим известные выражения:

$$(a + 1)^3 = a^3 + 19$$

Раскроем скобки:

$$a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = a^3 + 19$$

Вычтем $$a^3$$ из обеих частей:

$$3a^2 + 3a + 1 = 19$$

Перенесём 19 в левую часть:

$$3a^2 + 3a - 18 = 0$$

Разделим обе части на 3:

$$a^2 + a - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен:

$$D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$

Корни уравнения:

$$a_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$a_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Так как длина ребра не может быть отрицательной, то $$a = 2$$.

Ответ: 2