4. Докажите, что выражение \(\frac{a^2-3}{(a-2)^4} + \frac{5a-1}{(a-2)^4} + \frac{a+6}{(a-2)^4}\) при всех \(a \neq 2\) принимает положительные значения.

4. Докажите, что выражение \(\frac{a^2-3}{(a-2)^4} + \frac{5a-1}{(a-2)^4} + \frac{a+6}{(a-2)^4}\) при всех \(a
eq 2\) принимает положительные значения.

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

\(\frac{a^2-3}{(a-2)^4} + \frac{5a-1}{(a-2)^4} + \frac{a+6}{(a-2)^4} = \frac{a^2-3 + 5a-1 + a+6}{(a-2)^4} = \frac{a^2+6a+2}{(a-2)^4}\)

Рассмотрим числитель: \(a^2+6a+2\). Выделим полный квадрат: \(a^2+6a+2 = a^2 + 2 \cdot 3 \cdot a + 9 - 9 + 2 = (a+3)^2 - 7\)

Рассмотрим знаменатель: \((a-2)^4\) - это выражение всегда положительно, так как любое число в четвертой степени положительно, при условии, что \(a
eq 2\). Теперь рассмотрим числитель. Выражение \((a+3)^2\) всегда неотрицательно. Минимальное значение достигается при \(a = -3\), тогда \((a+3)^2 = 0\). Но нам нужно, чтобы числитель был положительным. Посмотрим, при каких значениях a, числитель будет положительным:

\((a+3)^2 - 7 > 0\)

\((a+3)^2 > 7\)

\(|a+3| > \sqrt{7}\)

Это условие выполняется при: \(a > \sqrt{7} - 3\) или \(a < -\sqrt{7} - 3\)

Приближенно: \(a > -0.35\) или \(a < -5.65\)

То есть, при определенных значениях а, числитель будет отрицательным, при других - положительным. Знаменатель всегда положителен (кроме a=2). Поэтому, нельзя утверждать, что при всех \(a
eq 2\) выражение принимает положительные значения.

Ответ: Выражение не всегда принимает положительные значения.