Докажите, что середины сторон квадрата являются вершинами другого квадрата.

Пусть ABCD - данный квадрат, E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

Докажем, что EFGH - квадрат.

Рассмотрим треугольники AHE, BFE, CGF, DHG. Они все прямоугольные и равны друг другу по двум катетам (AE = BF = CG = DH, AH = BE = CF = DG). Следовательно, HE = EF = FG = GH.

Значит, EFGH - ромб.

Рассмотрим треугольник AHE. Он прямоугольный, AE = AH, следовательно углы AHE и AEH равны по 45 градусов. Аналогично, угол BFE = 45 градусов.

Тогда угол HEF = 180° - (45° + 45°) = 90°.

Значит, EFGH - прямоугольник.

Так как EFGH - ромб и прямоугольник, то это квадрат.