78 Докажите, что Р(АПВ) < P(A) и Р(АПВ) < P(B).

Решим задание 78.

$$P(A \cap B)$$ – это вероятность наступления обоих событий A и B одновременно. Поскольку для наступления события $$A \cap B$$ необходимо, чтобы произошло и событие A, и событие B, вероятность $$P(A \cap B)$$ не может быть больше, чем вероятность одного из этих событий в отдельности.

Это связано с тем, что вероятность $$P(A \cap B)$$ учитывает только те случаи, когда оба события происходят вместе, в то время как вероятность P(A) учитывает все случаи, когда происходит событие A, независимо от того, происходит ли при этом событие B.

Аналогично, вероятность $$P(A \cap B)$$ не может быть больше, чем вероятность события B.

Таким образом, всегда выполняются неравенства $$P(A \cap B) \le P(A)$$ и $$P(A \cap B) \le P(B)$$.

В общем случае, когда A и B не являются несовместными, строгие неравенства $$P(A \cap B) < P(A)$$ и $$P(A \cap B) < P(B)$$ будут справедливы, если $$P(A \cap B) > 0$$, то есть если существует ненулевая вероятность, что оба события могут произойти вместе.

Ответ: доказано.