Решение:

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от $$y$$, нужно упростить выражение и показать, что в результате упрощения переменная $$y$$ исчезнет.

Исходное выражение:

$$\frac{2y}{y+3} + (y-3)^2 \cdot \left(\frac{2}{9-6y+y^2} + \frac{1}{9-y^2}\right)$$

Заметим, что $$9 - 6y + y^2 = (y-3)^2$$ и $$9 - y^2 = (3-y)(3+y) = -(y-3)(y+3)$$. Тогда:

$$\frac{2y}{y+3} + (y-3)^2 \cdot \left(\frac{2}{(y-3)^2} - \frac{1}{(y-3)(y+3)}\right)$$

Раскроем скобки:

$$\frac{2y}{y+3} + (y-3)^2 \cdot \frac{2}{(y-3)^2} - (y-3)^2 \cdot \frac{1}{(y-3)(y+3)}$$ $$\frac{2y}{y+3} + 2 - \frac{y-3}{y+3}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{2y + 2(y+3) - (y-3)}{y+3} = \frac{2y + 2y + 6 - y + 3}{y+3} = \frac{3y + 9}{y+3} = \frac{3(y+3)}{y+3} = 3$$

Значение выражения равно 3 и не зависит от $$y$$, что и требовалось доказать.