798 Докажите, что при любом значении х разность многочленов 1 4 x⁴- 1 8 x³-1 1 4 x²+ 2 5 x+ 5 7 и 0,75x⁴-0,125x³-2,25x²+0,4x- 3 7 принимает положительное значение.

Преобразуем первый многочлен:

$$1\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - 1\frac{1}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7} = \frac{7}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}$$

Преобразуем второй многочлен:

$$0,75x^4 - 0,125x^3 - 2,25x^2 + 0,4x - \frac{3}{7} = \frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{9}{4}x^2 + \frac{2}{5}x - \frac{3}{7}$$

Вычтем из первого многочлена второй:

$$(\frac{7}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}) - (\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{9}{4}x^2 + \frac{2}{5}x - \frac{3}{7}) =$$

$$(\frac{7}{4} - \frac{3}{4})x^4 + (-\frac{1}{8} + \frac{1}{8})x^3 + (-\frac{5}{4} + \frac{9}{4})x^2 + (\frac{2}{5} - \frac{2}{5})x + (\frac{5}{7} + \frac{3}{7}) =$$

$$\frac{4}{4}x^4 + 0x^3 + \frac{4}{4}x^2 + 0x + \frac{8}{7} = x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$$

Докажем, что выражение $$x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$$ принимает положительное значение при любом значении x. Так как $$x^4$$ и $$x^2$$ всегда неотрицательные (т.е. $$x^4 \geq 0$$ и $$x^2 \geq 0$$), а $$\frac{8}{7} > 0$$, то их сумма всегда будет положительной (или равна $$\frac{8}{7}$$ при x=0).

Ответ: выражение принимает положительное значение.