489. Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), где a - сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: a) 5 см; б) 1,2 см; в) 2√2 дм.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле \(S = \frac{1}{2}ah\), где \(a\) - сторона, а \(h\) - высота, проведённая к этой стороне. В равностороннем треугольнике высота \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Подставляем это выражение для высоты в формулу площади: \(S = \frac{1}{2}a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). а) Если сторона \(a = 5\) см, то площадь \(S = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}\) кв. см. б) Если сторона \(a = 1.2\) см, то площадь \(S = \frac{1.2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1.44\sqrt{3}}{4} = 0.36\sqrt{3}\) кв. см. в) Если сторона \(a = 2\sqrt{2}\) дм, то площадь \(S = \frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}\) кв. дм.