650 Докажите, что отношение сходственных сторон подобных угольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Пусть даны подобные треугольники ABC и A'B'C', где AB и A'B' — сходственные стороны, а h и h' — высоты, проведенные к этим сторонам.

Тогда:

$$ \frac{AB}{A'B'} = k $$

где k — коэффициент подобия.

Площадь треугольника ABC можно выразить как $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$$, а площадь треугольника A'B'C' как $$S' = \frac{1}{2} \cdot A'B' \cdot h'$$.

Так как треугольники подобны, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$ \frac{S}{S'} = k^2 $$

Подставим выражения для площадей:

$$ \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot A'B' \cdot h'} = k^2 $$

Упростим:

$$ \frac{AB \cdot h}{A'B' \cdot h'} = k^2 $$

Разделим обе части на k, учитывая, что $$k = \frac{AB}{A'B'}$$, получим:

$$ \frac{AB}{A'B'} \cdot \frac{h}{h'} = k $$ $$ \frac{h}{h'} = k $$

Таким образом, отношение высот равно коэффициенту подобия, который, в свою очередь, равен отношению сходственных сторон:

$$ \frac{h}{h'} = \frac{AB}{A'B'} $$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.