4. Докажите, что два прямоугольных треугольника равны, если острый угол и биссектриса этого угла одного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе этого угла другого прямоугольного треугольника.

Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A1B1C1, где угол C = угол C1 = 90°, угол A = угол A1, и биссектриса AL = биссектрисе A1L1. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1. 1. Угол A = угол A1 (по условию). 2. Угол C = угол C1 = 90° (по условию). 3. Тогда угол B = 180° - угол A - угол C = 180° - угол A1 - угол C1 = угол B1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 подобны по трем углам. Рассмотрим треугольники ACL и A1C1L1. 1. Угол A = угол A1 (по условию). 2. AL = A1L1 (по условию). 3. Угол LAC = $$\frac{1}{2}$$ * угол A, угол L1A1C1 = $$\frac{1}{2}$$ * угол A1. Следовательно, угол LAC = угол L1A1C1. Тогда треугольники ACL и A1C1L1 равны по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников). Следовательно, AC = A1C1. Треугольники ABC и A1B1C1 равны по катету и прилежащему острому углу (по второму признаку равенства прямоугольных треугольников). Доказано.