1344 Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.

а) Доказательство:

Пусть даны два прямоугольника ABCD и A₁B₁C₁D₁, у которых AB = A₁B₁ и AD = A₁D₁.

Площадь прямоугольника ABCD равна AB × AD, а площадь прямоугольника A₁B₁C₁D₁ равна A₁B₁ × A₁D₁.

Так как AB = A₁B₁ и AD = A₁D₁, то AB × AD = A₁B₁ × A₁D₁, то есть площади прямоугольников равны. Кроме того, все углы в прямоугольниках прямые. Следовательно, прямоугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны.

б) Доказательство:

Пусть даны два прямоугольника ABCD и A₁B₁C₁D₁, у которых AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁.

По теореме Пифагора для прямоугольника ABCD: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$, откуда $$BC^2 = AC^2 - AB^2$$.

По теореме Пифагора для прямоугольника A₁B₁C₁D₁: $${A_1C_1}^2 = {A_1B_1}^2 + {B_1C_1}^2$$, откуда $${B_1C_1}^2 = {A_1C_1}^2 - {A_1B_1}^2$$.

Так как AC = A₁C₁ и AB = A₁B₁, то $$AC^2 = {A_1C_1}^2$$ и $$AB^2 = {A_1B_1}^2$$. Следовательно, $$BC^2 = {B_1C_1}^2$$, а значит BC = B₁C₁.

Таким образом, у прямоугольников ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны соответствующие стороны AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁. Следовательно, прямоугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны.

Ответ: доказано.