Докажите что числа: a) 260 и 117 не взаимно простые; б) 945 и 544 взаимно простые.

a) Чтобы доказать, что числа 260 и 117 не взаимно простые, нужно найти их наибольший общий делитель (НОД). Если НОД больше 1, то числа не взаимно простые.

Разложим числа на простые множители:

$$260 = 2 \cdot 130 = 2 \cdot 2 \cdot 65 = 2^2 \cdot 5 \cdot 13$$

$$117 = 3 \cdot 39 = 3 \cdot 3 \cdot 13 = 3^2 \cdot 13$$

НОД(260, 117) = 13, так как это единственный общий простой множитель. Поскольку НОД равен 13, а не 1, то числа 260 и 117 не взаимно простые.

б) Чтобы доказать, что числа 945 и 544 взаимно простые, нужно найти их наибольший общий делитель (НОД). Если НОД равен 1, то числа взаимно простые.

Разложим числа на простые множители:

$$945 = 3 \cdot 315 = 3 \cdot 3 \cdot 105 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 35 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$$

$$544 = 2 \cdot 272 = 2 \cdot 2 \cdot 136 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 68 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 34 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17 = 2^5 \cdot 17$$

НОД(945, 544) = 1, так как у них нет общих простых множителей. Следовательно, числа 945 и 544 взаимно простые.