Решение

1. a) Прямоугольник.

Пусть ABCD - данный прямоугольник, а K, L, M, N - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Четырёхугольник KLMN - ромб.

Соединим точки K и M, L и N. Отрезки KM и LN - средние линии прямоугольника ABCD. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

Так как ABCD - прямоугольник, то AB = CD и BC = AD. Тогда AK = KB = CM = MD и BL = LC = DN = NA.

Рассмотрим треугольники AKN и BLM. В них AK = BL, AN = BM и углы KAN и LBM - прямые (т.к. ABCD - прямоугольник). Следовательно, треугольники AKN и BLM равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда KN = LM.

Аналогично доказывается равенство треугольников KBL и MDN, LCM и NAK. Из равенства этих треугольников следует, что KN = LM = KL = MN, т.е. все стороны четырёхугольника KLMN равны между собой. Следовательно, KLMN - ромб.

2. б) Равнобедренная трапеция.

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC, а K, L, M, N - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Четырёхугольник KLMN - ромб.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, то есть AB = CD. Значит, AK = KB = CM = MD.

Соединим середины боковых сторон трапеции, тогда: $$KN = LM = \frac{BC + AD}{2}$$

Рассмотрим треугольники ANK и BLM. AN = BM, AK = BL и угол BAK = углу ABL (как углы при основании равнобедренной трапеции). Значит, треугольники ANK и BLM равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что NK = ML. $$KL = MN = \frac{CD - BC}{2}$$