Длина вектора АВ равна 6, длина вектора АВ - АС равна 7. Косинус угла ВАС равен. Найдите длину вектора АС. 23 72

Ответ:

Пусть \(|\overrightarrow{AB}| = 6\), \(|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = 7\) и \(\cos(\angle BAC) = \frac{23}{72}\). Обозначим длину вектора \(\overrightarrow{AC}\) как x.

Применим теорему косинусов к треугольнику, образованному векторами \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\):

\[|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - 2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos(\angle BAC)\]

Подставляем известные значения:

\[7^2 = 6^2 + x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x \cdot \frac{23}{72}\]

\[49 = 36 + x^2 - \frac{23}{6}x\]

Приводим к квадратному уравнению:

\[x^2 - \frac{23}{6}x - 13 = 0\]

Умножаем на 6, чтобы избавиться от дроби:

\[6x^2 - 23x - 78 = 0\]

Решаем квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант D:

\[D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-78) = 529 + 1872 = 2401\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + \sqrt{2401}}{12} = \frac{23 + 49}{12} = \frac{72}{12} = 6\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - \sqrt{2401}}{12} = \frac{23 - 49}{12} = \frac{-26}{12} = -\frac{13}{6}\]

Так как длина вектора не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:

\[x = 6\]

Ответ: