Длина вектора АВ равна 3, длина вектора АВ + АС равна 6. Косинус угла ВАС равен - ". Найдите длину вектора АС. Ответ: 11 21

Ответ:

Обозначим длину вектора \(\overrightarrow{AC}\) как x. Известно, что \(|\overrightarrow{AB}| = 3\) и \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 6\). Также дан косинус угла BAC: \(\cos(\angle BAC) = -\frac{11}{21}\).

Используем теорему косинусов для нахождения длины вектора \(\overrightarrow{AC}\):

\[|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + 2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}| \cos(\angle BAC)\]

Подставляем известные значения:

\[6^2 = 3^2 + x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \left(-\frac{11}{21}\right)\]

\[36 = 9 + x^2 - \frac{22}{7}x\]

Приводим к квадратному уравнению:

\[x^2 - \frac{22}{7}x - 27 = 0\]

Умножаем на 7, чтобы избавиться от дроби:

\[7x^2 - 22x - 189 = 0\]

Решаем квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант D:

\[D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-189) = 484 + 5292 = 5776\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + \sqrt{5776}}{14} = \frac{22 + 76}{14} = \frac{98}{14} = 7\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - \sqrt{5776}}{14} = \frac{22 - 76}{14} = \frac{-54}{14} = -\frac{27}{7}\]

Так как длина вектора не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:

\[x = 7\]

Ответ: