Диагонали FC и ЕН прямоугольника FECH пересекаются в точке О, PAOFE = 25 см, PAOFH = 32 см: Найдите периметр данного прямоугольника, если длина диагонали FC равна 17 см.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \( FE = CH \) и \( EH = FC \). Также \( FO = OC = EO = OH \).

В треугольнике FOH, \( FO = OH \), поэтому он равнобедренный. Периметр \( P_{\triangle FOH} = FO + OH + FH = 2FO + FH \).

В треугольнике FOE, \( FO = EO \), поэтому он равнобедренный. Периметр \( P_{\triangle FOE} = FO + EO + FE = 2FO + FE \).

Дано: \( P_{\triangle FOE} = 25 \) см, \( P_{\triangle FOH} = 32 \) см.

Из \( P_{\triangle FOE} = 2FO + FE = 25 \) и \( P_{\triangle FOH} = 2FO + FH = 32 \).

Вычитаем первое уравнение из второго: \( (2FO + FH) - (2FO + FE) = 32 - 25 \) \( FH - FE = 7 \).

Диагональ \( FC = 17 \) см. Так как диагонали прямоугольника равны, то \( EH = FC = 17 \) см.

В прямоугольнике \( FH^2 + FE^2 = FC^2 \) (по теореме Пифагора).

Подставим \( FH = FE + 7 \) в уравнение: \( (FE + 7)^2 + FE^2 = 17^2 \) \( FE^2 + 14FE + 49 + FE^2 = 289 \) \( 2FE^2 + 14FE + 49 - 289 = 0 \) \( 2FE^2 + 14FE - 240 = 0 \) \( FE^2 + 7FE - 120 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение для \( FE \): \( FE = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 480}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 \pm 23}{2} \).

Так как длина стороны не может быть отрицательной, берём положительный корень: \( FE = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.

Теперь найдём \( FH \): \( FH = FE + 7 = 8 + 7 = 15 \) см.

Периметр прямоугольника \( P_{FECH} = 2(FE + FH) = 2(8 + 15) = 2(23) = 46 \) см.

Ответ: 46 см.