В параллелограмме ABCD АЕ – биссектриса угла BAD, DE - биссектриса угла CDA, АВ = 11 см. Найдите периметр параллелограмма.

Задание №4

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• AE – биссектриса угла BAD.
• DE – биссектриса угла CDA.
• AB = 11 см.

Найти: Периметр параллелограмма ABCD.

Решение:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD = 11 см, AD = BC.

2. Так как AE – биссектриса угла BAD, то ∠ BAE = ∠ DAE. Из того, что AD || BC, следует, что ∠ DAE = ∠ BEA (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AE).

3. Следовательно, ∠ BAE = ∠ BEA. Это означает, что треугольник ABE – равнобедренный, и AB = BE = 11 см.

4. Аналогично, так как DE – биссектриса угла CDA, то ∠ CDE = ∠ ADE. Из того, что AD || BC, следует, что ∠ ADE = ∠ DEC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей DE).

5. Следовательно, ∠ CDE = ∠ DEC. Это означает, что треугольник CDE – равнобедренный, и CD = CE = 11 см.

6. Теперь найдем длину стороны AD. Мы знаем, что AD = AE + ED, но это не так. По условию DE - биссектриса угла CDA. В параллелограмме AB || CD, AD || BC. Угол BAD + угол CDA = 180 градусов. AE - биссектриса угла BAD, DE - биссектриса угла CDA. Пусть ∠ DAE = α, тогда ∠ BAE = α. ∠ BAD = 2α. Пусть ∠ ADE = β, тогда ∠ CDE = β. ∠ CDA = 2β. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов: ∠ BAD + ∠ CDA = 180°. Значит, 2α + 2β = 180°, или α + β = 90°.

7. Рассмотрим треугольник ADE. Сумма углов в треугольнике равна 180°. ∠ DAE + ∠ ADE + ∠ AED = 180°. α + β + ∠ AED = 180°. Так как α + β = 90°, то 90° + ∠ AED = 180°, следовательно, ∠ AED = 90°.

8. Вернемся к равнобедренным треугольникам. Из того, что AE – биссектриса ∠ BAD, следует, что ∠ BAE = ∠ DAE. Так как AD || BC, то ∠ DAE = ∠ BEA (накрест лежащие). Значит ∠ BAE = ∠ BEA, и треугольник ABE — равнобедренный. Тогда BE = AB = 11 см.

9. Из того, что DE – биссектриса ∠ CDA, следует, что ∠ ADE = ∠ CDE. Так как AD || BC, то ∠ ADE = ∠ DEC (накрест лежащие). Значит ∠ CDE = ∠ DEC, и треугольник CDE — равнобедренный. Тогда CE = CD = 11 см.

10. В параллелограмме ABCD, AB = CD = 11 см.

11. Рассмотрим сторону AD. Мы знаем, что AD = AE + ED, но это не верно. AD = BC. AD = BC. BE = 11, CE = 11. AD = BE + EC = 11 + 11 = 22 см. AD = BC = 22 см. Так как AB=11, AD=22. Периметр = 2*(AB+AD) = 2*(11+22) = 2*33 = 66 см.

12. Проверим еще раз. В параллелограмме ABCD: AB = CD = 11 см. AE - биссектриса ∠ BAD, DE - биссектриса ∠ CDA. ∠ DAE = ∠ BAE. ∠ ADE = ∠ CDE. Поскольку AD || BC, ∠ DAE = ∠ BEA (накрест лежащие). Значит, ∠ BAE = ∠ BEA, следовательно, BE = AB = 11 см.

13. Поскольку AD || BC, ∠ ADE = ∠ DEC (накрест лежащие). Значит, ∠ CDE = ∠ DEC, следовательно, CE = CD = 11 см.

14. Сторона AD равна сумме отрезков AE и ED. Однако, мы не можем так просто сказать, что E лежит на AD. E лежит на стороне BC.

15. В параллелограмме ABCD, AB=11, CD=11. AD=BC. AE - биссектриса ∠ BAD. ∠ BAE = ∠ DAE. Так как AD || BC, то ∠ BEA = ∠ DAE. Следовательно, ∠ BAE = ∠ BEA, т.е. BE = AB = 11 см.

16. DE - биссектриса ∠ CDA. ∠ ADE = ∠ CDE. Так как AD || BC, то ∠ ADE = ∠ DEC. Следовательно, ∠ CDE = ∠ DEC, т.е. CE = CD = 11 см.

17. E лежит на стороне BC. Значит, BC = BE + EC.

18. Подставляем значения: BC = 11 + 11 = 22 см.

19. Так как ABCD — параллелограмм, то AD = BC = 22 см.

20. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: P = AB + BC + CD + AD.

21. Подставляем значения: P = 11 + 22 + 11 + 22 = 66 см.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 66 см.