Диагональ трапеции ABCD делит ее на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Найдите среднюю линию трапеции, если (S_{\triangle ACD} = 144) см².

Пусть (h) – высота равнобедренного прямоугольного треугольника ACD, и она же высота трапеции. Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, то его катеты равны (h). Площадь треугольника (S_{\triangle ACD}) равна \[ S_{ \triangle ACD} = \frac{1}{2} h^2 \] Из условия известно, что (S_{ \triangle ACD} = 144) см². Подставим это значение в формулу и найдем (h): \[144 = \frac{1}{2} h^2\] Умножим обе части на 2: \[288 = h^2\] Извлечем квадратный корень: \[h = \sqrt{288} = \sqrt{144*2} = 12\sqrt{2}\] Так как треугольник ABC также равнобедренный и прямоугольный, то его катеты равны стороне AB трапеции, и равны (h). Значит, меньшее основание трапеции (BC = h). Большее основание трапеции (AD) равно гипотенузе треугольника ACD. В равнобедренном прямоугольном треугольнике, гипотенуза в \(\sqrt{2}\) раз больше катета. Значит (AD=h\sqrt{2}). \[AD = 12\sqrt{2}*\sqrt{2}=12*2=24\] Средняя линия трапеции (m) равна полусумме оснований: \[m = \frac{BC + AD}{2}\] \[m = \frac{12\sqrt{2} + 24}{2}\] Т.к. трапеция прямоугольная, то меньшее основание BC равно высоте трапеции h. \[ m = \frac{h + h\sqrt{2}}{2} = \frac{12\sqrt{2} + 24}{2}\] Поскольку катет равен (h), то меньшее основание (BC=h=12\sqrt{2}), а большее (AD=2h=24) \[ m = \frac{BC + AD}{2} = \frac{12\sqrt{2} + 24}{2} = 6\sqrt{2} + 12 \] \[ m = 6(\sqrt{2} + 2) \] Так как треугольник ABC также прямоугольный и равнобедренный, то его катеты равны h, и (AB = BC = h = 12\sqrt{2}), поэтому большее основание (AD=2*BC=24) \[m = \frac{12\sqrt{2} + 24}{2}\] \[m = 6\sqrt{2} + 12\] \[m = 6(\sqrt{2} + 2)\] Тогда средняя линия равна: \[m = \frac{12\sqrt{2}+24}{2} = 6\sqrt{2}+12\] Так как трапеция является прямоугольной, меньшее основание равно высоте, тогда меньшее основание = h = 12√2, большее основание равно гипотенузе, которая = 24. Средняя линия равна \[ m = (12 \sqrt{2} + 24) / 2 = 6\sqrt{2} + 12 \] Ответ: (6\sqrt{2} + 12) см