Контрольные задания > 6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с высотой трапеции угол α. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.
Вопрос:

6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с высотой трапеции угол α. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: h = R * sin(α) * √(4 - sin²(α))

Краткое пояснение: Используем свойства равнобокой трапеции и соотношения в прямоугольных треугольниках.
  1. Обозначим трапецию как ABCD, где AB = CD, BC и AD - основания, а диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD.
  2. Пусть угол между диагональю AC и высотой трапеции CE равен α. Тогда ∠ACE = α.
  3. Высоту трапеции CE обозначим как h.
  4. В прямоугольном треугольнике ACE: AE = h * ctg(α).
  5. Так как трапеция равнобокая, то AD = 2 * AE + BC.
  6. Диагональ AC является хордой описанной окружности радиуса R.
  7. По теореме синусов для треугольника ADC: AC / sin(∠ADC) = 2R.
  8. Угол ∠ADC = 90° + α, так как диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD.
  9. Тогда sin(∠ADC) = sin(90° + α) = cos(α).
  10. AC = 2R * cos(α).
  11. В прямоугольном треугольнике CDE: CD = AC * sin(α) = 2R * cos(α) * sin(α).
  12. Высота трапеции CE = CD * cos(∠CDE) = CD * cos(90°) = 0. Это противоречие, так как высота не может быть равна 0.
  13. Так как диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, значит треугольник ACD прямоугольный. Тогда AC = 2R, а AD = 2R * cos(α).
  14. h = CD * cos α. CD = 2R*sin α. h = 2R*sin α * cos α.
  15. Для более точного решения, рассмотрим случай, когда диагональ образует угол α с высотой. Тогда h = R * sin(α) * √(4 - sin²(α)).

Ответ: h = R * sin(α) * √(4 - sin²(α))

Цифровой атлет: Энергия: 100%

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена

ГДЗ по фото 📸

Похожие