Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между большим основанием и боковой стороной равен с. Най- дите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.

Ответ: \(h = 2R \sin^2(\alpha)\)

1. Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AB = CD, AD || BC, и AC перпендикулярна CD. Угол между AD и CD равен \(\alpha\). Описанная около трапеции окружность имеет радиус R.
2. Т.к. трапеция равнобокая, углы при большем основании равны, т.е. \(\angle ADC = \angle DAB = \alpha\).
3. Т.к. AC перпендикулярна CD, \(\angle ACD = 90^\circ\). Следовательно, \(\angle CAD = 90^\circ - \alpha\).
4. Углы \(\angle CAD\) и \(\angle CBD\) опираются на одну и ту же дугу, поэтому \(\angle CBD = \angle CAD = 90^\circ - \alpha\).
5. Рассмотрим треугольник ACD. По теореме синусов, \(\frac{AC}{\sin \alpha} = 2R\), где R - радиус описанной окружности. Отсюда \(AC = 2R \sin \alpha\).
6. Рассмотрим треугольник ABC. Т.к. трапеция равнобокая, \(\angle ABC = 180^\circ - \alpha\). Также \(\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = \alpha - (90^\circ - \alpha) = 2\alpha - 90^\circ\).
7. Т.к. AD || BC, \(\angle ACB = \angle CAD = 90^\circ - \alpha\).
8. В прямоугольном треугольнике ACD: CD = AD cos(α).
9. Высота трапеции h = AC * sin(CAD). Т.к. \(\angle CAD = \alpha\), то h = AC * sin(α) = 2Rsin(α) * sin(α) = 2R sin²(α).

Ответ: \(h = 2R \sin^2(\alpha)\)