5. Диагональ АС ромба АBCD равна 16, a tg∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. Ответ:

Ответ: 4.8

Рассмотрим ромб ABCD, где диагональ AC = 16, и tg(∠BCA) = 0.75 = \(\frac{3}{4}\)

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Пусть точка пересечения диагоналей - O.

Тогда AO = \(\frac{AC}{2}\) = \(\frac{16}{2}\) = 8

В прямоугольном треугольнике BOC: tg(∠BCA) = \(\frac{BO}{OC}\), где OC = AO = 8. BO = OC * tg(∠BCA) = 8 * \(\frac{3}{4}\) = 6

Сторона ромба BC: BC = \(\sqrt{BO^2 + OC^2}\) = \(\sqrt{6^2 + 8^2}\) = \(\sqrt{36 + 64}\) = \(\sqrt{100}\) = 10

Площадь ромба можно найти как S = \(\frac{1}{2}\) * AC * BD, где BD = 2 * BO = 2 * 6 = 12

S = \(\frac{1}{2}\) * 16 * 12 = 96

Также площадь ромба можно найти как S = BC * h, где h - высота ромба. 96 = 10 * h, отсюда h = \(\frac{96}{10}\) = 9.6

Радиус вписанной окружности в ромб равен половине высоты: r = \(\frac{h}{2}\) = \(\frac{9.6}{2}\) = 4.8

Ответ: 4.8