Диагональ АС ромба АBCD равна 30, a tgBCA = \frac{4}{3}. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Ответ: 9

Краткое пояснение: Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба, которую можно найти через тангенс угла и половину диагонали.

Обозначим сторону ромба за a, а высоту за h. Из прямоугольного треугольника ABC имеем:
\[\tg(\angle BCA) = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{\frac{1}{2}AC}\]
Тогда:
\[AB = \tg(\angle BCA) \cdot \frac{1}{2}AC = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 30 = 20\]
Площадь ромба можно найти двумя способами:

S = a*h и S = 1/2 * d1 * d2
Приравняем эти формулы, чтобы найти высоту:
\[a \cdot h = \frac{1}{2}d_1d_2\]
Выразим вторую диагональ через тангенс:
\[\tg(\angle BCA) = \frac{AB}{\frac{1}{2}AC} = \frac{\frac{1}{2}BD}{\frac{1}{2}AC}\]
Следовательно:
\[BD = AC \cdot \tg(\angle BCA) = 30 \cdot \frac{4}{3} = 40\]
Подставим значения и найдем высоту:
\[20 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40\] \[h = \frac{30 \cdot 40}{2 \cdot 20} = 30\]
Радиус вписанной окружности равен половине высоты:
\[r = \frac{h}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

Ответ: 9

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро

Твой статус: Цифровой атлет