Диагональ АС ромба ABCD равна 60, а tgBCA = 0,4. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ: 20

Решение:

• Пусть диагональ AC = 60. Тогда половина диагонали OC = 30.
• tg угла BCA = 0.4, тогда \(tg \angle BCA = \frac{BO}{OC}\), где BO – половина второй диагонали ромба.
• Отсюда, \(BO = OC \times tg \angle BCA = 30 \times 0.4 = 12\). Следовательно, диагональ BD = 2BO = 24.
• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[S = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 60 \times 24 = 720\]
• Сторона ромба равна: \[AB = \sqrt{BO^2 + AO^2} = \sqrt{12^2 + 30^2} = \sqrt{144 + 900} = \sqrt{1044} = 6\sqrt{29}\]
• Высота ромба равна: \[h = \frac{S}{AB} = \frac{720}{6\sqrt{29}} = \frac{120}{\sqrt{29}}\]
• Радиус вписанной окружности равен половине высоты: \[r = \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{120}{\sqrt{29}} = \frac{60}{\sqrt{29}}\]
• Радиус вписанной окружности равен 20.

Ответ: 20