3. Диагональ АС прямоугольной трапеции ABCD перпендикуляр на боковой стороне CD и составляет угол в 60° с основанием AD. Найдите площадь трапеции, если AD = 24 см.

3. В прямоугольной трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна CD и образует угол 60° с AD. AD = 24 см. Найдем площадь трапеции.

Треугольник ACD - прямоугольный, угол CAD = 60°, значит, угол ACD = 30°.

Найдем CD (высоту трапеции).

$$tg(60^\circ) = \frac{CD}{AD}$$

$$CD = AD \cdot tg(60^\circ) = 24 \cdot \sqrt{3} \text{ см}$$

Найдем BC.

Рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC = 90° - 60° = 30°

$$tg(30^\circ) = \frac{BC}{AB}$$

Так как ABC - прямоугольный, то AB = CD. Следовательно, AB = 24√3.

$$tg(30^\circ) = \frac{BC}{24\sqrt{3}}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{BC}{24\sqrt{3}}$$ $$BC = \frac{24 \cdot 3}{3} = 24 \text{ см}$$

Площадь трапеции:

$$S = \frac{(AD + BC) \cdot CD}{2} = \frac{(24+24)\cdot 24\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3}= 576\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Ответ: $$576\sqrt{3}$$ см²