4. Диагональ АС прямоугольной трапеции АBCD перпендикуляр на боковой стороне CD и составляет угол в 60° с основанием AD. Найдите площадь трапеции, если AD = 24 см.

Так как диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, то треугольник ACD - прямоугольный. Угол CAD = 60°, значит, угол ACD = 30°.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, AD = 2AC, отсюда AC = AD/2 = 24/2 = 12 см.

В прямоугольном треугольнике ACD по теореме Пифагора:

$$CD^2 = AD^2 - AC^2 = 24^2 - 12^2 = 576 - 144 = 432$$

$$CD = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}$$

Площадь трапеции ABCD:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CD$$

Так как ABCD - прямоугольная трапеция, то BC = AN, где N - проекция вершины C на основание AD. В прямоугольном треугольнике ACN угол CAN = 60°, тогда AN = AC \cdot cos(60°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 см.

BC = 6 см.

$$S = \frac{6 + 24}{2} \cdot 12\sqrt{3} = 15 \cdot 12\sqrt{3} = 180\sqrt{3}$$

Площадь трапеции равна $$180\sqrt{3}$$ кв.см.

Ответ: $$180\sqrt{3}$$ кв.см.