Даны вершины пирамиды A(−2; −1; −4), B(−4; −3; 0), C(−3; −2; 3), D(0; 2; −2). Вычислить площадь основания (S_ΔABC) и объём пирамиды.

Найдём векторы: \(\overrightarrow{AB}=(-2,-2,4)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1,-1,7)\), \(\overrightarrow{AD}=(2,3,2)\).

Площадь основания: \[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-10,10,0),\qquad S_{\triangle ABC}=\frac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\frac12\sqrt{(-10)^2+10^2}=5\sqrt2.\]

Объём пирамиды: \[V=\frac16\left|\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AD}\right|=\frac16|(-10,10,0)\cdot(2,3,2)|=\frac{10}{6}=\frac53.\]

Ответ: \(S_{\triangle ABC}=5\sqrt2\), \(V=\frac53\).