071 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых АМ² + ВМ² = k², где k – данное число.

• Шаг 1: Введём систему координат. Пусть точки A и B имеют координаты A(-a; 0) и B(a; 0) соответственно. Тогда середина отрезка AB – точка O(0; 0) – будет началом координат. Пусть точка M имеет координаты (x; y).
• Шаг 2: Выразим квадраты расстояний AM² и BM² через координаты точек A, B и M:
  • AM² = (x + a)² + y²
  • BM² = (x - a)² + y²
• Шаг 3: Подставим выражения в уравнение AM² + BM² = k²: \[ (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = k^2 \]
• Шаг 4: Упростим уравнение: \[ x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = k^2 \] \[ 2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = k^2 \] \[ 2x^2 + 2y^2 = k^2 - 2a^2 \] \[ x^2 + y^2 = \frac{k^2}{2} - a^2 \]
• Шаг 5: Анализ полученного уравнения:
  • Если \( \frac{k^2}{2} - a^2 > 0 \), то уравнение задаёт окружность с центром в начале координат (0; 0) и радиусом \( r = \sqrt{\frac{k^2}{2} - a^2} \).
  • Если \( \frac{k^2}{2} - a^2 = 0 \), то уравнение задаёт точку (0; 0).
  • Если \( \frac{k^2}{2} - a^2 < 0 \), то множество точек M пусто.

Ответ: Если k²/2 - a² > 0, то это окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом √(k²/2 - a²); если k²/2 - a² = 0, то это точка – середина отрезка AB; если k²/2 - a² < 0, то множество точек M пусто.