072 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых АМ² – BM² = k, где k – данное число.

Решение: Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка A была началом координат, а точка B имела координаты (a; 0), где a = AB. Найдём расстояния от произвольной точки M (x; y) до точек A и B: AM = √(x² + y²), BM = √((x-a)² + y²). Если точка M (x; y) принадлежит искомому множеству, то координаты точки M удовлетворяют уравнению AM² - BM² = k, поэтому x² + y² - ((x - a)² + y²) = k, или 2ax - a² - k = 0. Из последнего уравнения следует, что 2ax = a² + k, или x = (a² + k) / (2a), что представляет собой прямую, перпендикулярную оси Ox. Следовательно, множество всех точек M, для которых AM² - BM² = k, есть прямая, перпендикулярная отрезку AB, расположенная на расстоянии (a² + k) / (2a) от точки A.

Ответ: Прямая, перпендикулярная отрезку AB, расположенная на расстоянии (a² + k) / (2a) от точки A.