1. Дано: ДА = ∠B, CO = 4. DO = 6. АО = 5 (рис. 7.54). Найти. а) ОВ; 5) AC BD: B) SAOC SBOD

а) Рассмотрим треугольники АОС и BOD. ∠A = ∠B (по условию), ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные). Значит, треугольники АОС и BOD подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$

Подставим известные значения:

$$ \frac{5}{BO} = \frac{4}{6}$$ $$ BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$$

б) АС = АО + ОС = 5 + 4 = 9
BD = BO + OD = 7.5 + 6 = 13.5

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$ \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = (\frac{AO}{BO})^2 = (\frac{5}{7.5})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$

Ответ: а) ОВ = 7.5; б) АС = 9, BD = 13.5; в) SAOC/SBOD = 4/9