10. Дано: AF = FC, BP = PD. Доказать: EFKP – параллелограмм.

1. Рассмотрим четырехугольник EFKP.
2. AF = FC и BP = PD (по условию).
3. Следовательно, EF и KP — средние линии треугольников BCD и ABD соответственно.
4. Средние линии параллельны соответствующим сторонам треугольников, то есть EF || BD и KP || BD.
5. Следовательно, EF || KP (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу).
6. Аналогично FK и EP — средние линии треугольников ABC и ADC соответственно, следовательно FK || AC и EP || AC.
7. Значит FK || EP.
8. Таким образом, в четырехугольнике EFKP противоположные стороны попарно параллельны, а значит, EFKP — параллелограмм по определению.

Что и требовалось доказать.