4. Дано: △ABC - равносторонний, OK = 3 см. Найти: AB.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. OK - радиус, проведенный к стороне AC. Так как треугольник равносторонний, то OK является и высотой, и медианой. Таким образом, AK = KC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOK. ∠A = 60°, ∠AKO = 90°, OK = 3 см. Тогда ∠AOK = 30°.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, AK = OK / tg(30°) = 3 / (1/√3) = 3√3.

Тогда AC = 2 * AK = 2 * 3√3 = 6√3.

Так как треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = AC = 6√3.