Дано: ΔABC, AC = √2 см, ∠A = 45°, ∠B = 30°. Найти: BC.

Разбираемся:

1. Записываем теорему синусов:

   \[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]

2. Выражаем BC:

   \[BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B}\]

3. Подставляем значения:

   \[BC = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin 45°}{\sin 30°}\]

4. Учитываем, что sin 45° = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) и sin 30° = 0.5:

   \[BC = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0.5}\]

5. Вычисляем:

   \[BC = \frac{2}{2 \cdot 0.5}\]

   \[BC = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{1} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\]

   \[BC = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \cdot 2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30}\]

6. Перепроверим sin(30) = 1/2, sin(45) = sqrt(2)/2:

   \[BC = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\]

7. Находим угол С:

   \[∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 30° = 105°\]

8. Используем теорему синусов еще раз, но с углом C:

   \[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\]

9. Вычисляем \(\sin C = \sin 105° = \sin (60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

10. Теперь можем найти AB:

    \[\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\]

    \[AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} = \frac{\sqrt{12} + 2}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{2} = \sqrt{3} + 1\]

11. Тогда:

    \[BC = \frac{AC \sin A}{\sin B} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin 30}{\sin 45} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\]