5. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Точка М лежит на основании AD и равноудалена OT концов другого основания. Докажите, что М - середина основания AD.

Ответ: Доказано.

Доказательство:

• Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC и AD - основания, AB = CD. Точка M лежит на AD и равноудалена от концов основания BC, то есть BM = CM.
• Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании AD равны: ∠BAD = ∠CDA.
• Рассмотрим треугольники ABM и DCM. У них:
  • AB = CD (трапеция равнобедренная)
  • BM = CM (по условию)
  • ∠BAD = ∠CDA (углы при основании равнобедренной трапеции)
• Следовательно, треугольники ABM и DCM равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует, что AM = DM.
• Таким образом, точка M делит основание AD на два равных отрезка, что означает, что M - середина основания AD.

Ответ: Доказано.