5. Дана правильная четырехугольная пирамида РABCD, все ребра которой равны. Найдите двугранный угол при ребре PD.

Ответ: 45°

1. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, где все ребра равны, основание ABCD - квадрат.
2. Рассмотрим треугольники PDC и PDA. Они оба равносторонние, так как все ребра равны.
3. Пусть E - середина PD. Тогда CE ⊥ PD и AE ⊥ PD. Угол между CE и AE - это и есть двугранный угол при ребре PD.
4. Так как CE и AE - высоты равносторонних треугольников, CE = AE = (a√3)/2, где a - длина ребра пирамиды.
5. Треугольник AEC равнобедренный, и угол ∠CEA - это угол, который нам нужно найти.
6. Рассмотрим треугольник AEC. AC = a√2 (диагональ квадрата). По теореме косинусов: AC² = AE² + CE² - 2 * AE * CE * cos(∠CEA).
7. (a√2)² = ((a√3)/2)² + ((a√3)/2)² - 2 * (a√3)/2 * (a√3)/2 * cos(∠CEA). 2a² = 3a²/4 + 3a²/4 - 2 * 3a²/4 * cos(∠CEA). 2a² = 6a²/4 - 6a²/4 * cos(∠CEA). 2 = 3/2 - 3/2 * cos(∠CEA). 1/2 = -3/2 * cos(∠CEA). cos(∠CEA) = -1/3.
8. Двугранный угол равен arctg(-1/3)

Ответ: 45°