Дана окружность с центром O и радиусом 8 и точка A (см. рис. 153). Прямые B касаются окружности в точках C и B. Найдите OA, если угол BAO = 45°.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Краткое пояснение: Если прямая касается окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Проведём радиусы \( OC \) и \( OB \) к точкам касания.
\( OC = OB = 8 \) (радиусы).
\( BC \) и \( BA \) – касательные, значит, \( OC \perp CA \) и \( OB \perp BA \).
\( \angle OBA = 90^\circ \).
Рассмотрим \( \triangle OBA \): \( \angle BAO = 45^\circ \).
Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), значит, \( \angle BOA = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 45^\circ \).
Следовательно, \( \triangle OBA \) – равнобедренный (углы при основании равны), значит, \( OB = BA = 8 \).
По теореме Пифагора: \( OA^2 = OB^2 + BA^2 \), \( OA = \sqrt{OB^2 + BA^2} \).
Подставляем значения: \( OA = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \).

Ответ: \( OA = 8\sqrt{2} \).