838. Число 96 является членом геометрической прогрессии 3/8, 3/4, 3/2,... Найдите номер этого члена.

Дано: геометрическая прогрессия $$\frac{3}{8}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, ...$$, $$b_n = 96$$. Найти: n.

Сначала найдем знаменатель прогрессии: $$q = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{8}} = \frac{3}{4} * \frac{8}{3} = 2$$.

Теперь используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 * q^{n-1}$$.

В нашем случае: $$96 = \frac{3}{8} * 2^{n-1}$$.

Умножим обе части на $$\frac{8}{3}$$: $$96 * \frac{8}{3} = 2^{n-1}$$.

Тогда: $$32 * 8 = 2^{n-1}$$, $$256 = 2^{n-1}$$.

Заметим, что $$256 = 2^8$$, поэтому: $$2^8 = 2^{n-1}$$.

Следовательно: $$8 = n - 1 \Rightarrow n = 8 + 1 = 9$$.

Ответ: 9