C1. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°, а основание — 12 см. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC
• ∠B = 120° (угол при основании)
• AC = 12 см (основание)

Найти: Высоту, проведенную к боковой стороне (например, BH).

Решение:

1. Находим углы при основании:
• Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: ∠A = ∠C.
• Сумма углов треугольника: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• ∠A + 120° + ∠A = 180°.
• 2∠A = 180° - 120° = 60°.
• ∠A = 30°.
• Значит, ∠A = ∠C = 30°.
2. Проводим высоту к основанию:
• Пусть BD — высота, проведенная к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой.
• Значит, AD = DC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 см.
• В прямоугольном треугольнике ABD: ∠ADB = 90°, ∠A = 30°, AD = 6 см.
• Найдем боковую сторону AB:
• (∠A) =  / AB
• (30°) = 6 / AB
•  = 1/2, следовательно, 1/2 = 6 / AB, AB = 12 см.
• Боковые стороны AB и BC равны 12 см.
3. Находим высоту, проведенную к боковой стороне:
• Пусть BH — высота, проведенная к боковой стороне AB.
• Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:
• 1) S = 1/2 * основание * высота к основанию = 1/2 * AC * BD
• 2) S = 1/2 * боковая сторона * высота к боковой стороне = 1/2 * AB * BH
• Найдем BD:
• (∠A) = BD / AD
• (30°) = BD / 6
• 1/2 = BD / 6, следовательно, BD = 3 см.
• Теперь приравняем площади:
• 1/2 * AC * BD = 1/2 * AB * BH
• AC * BD = AB * BH
• 12 * 3 = 12 * BH
• 36 = 12 * BH
• BH = 36 / 12 = 3 см.

Ответ: 3 см