C1. Упростите выражение $$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$$.

Преобразуем подкоренное выражение так, чтобы выделить полный квадрат. Заметим, что $$4\sqrt{5} = 2 \cdot 2 \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{20}$$.

Предположим, что под корнем можно выделить полный квадрат вида $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$. Тогда $$2ab = 4\sqrt{5}$$. Мы хотим представить 9 как сумму двух квадратов $$a^2 + b^2 = 9$$ и при этом $$2ab = 4\sqrt{5}$$, то есть $$ab = 2\sqrt{5}$$.

Попробуем подобрать $$a$$ и $$b$$ так, чтобы выполнялись эти условия. Заметим, что $$(2 - \sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}$$. Однако, мы не можем взять просто корень из этого выражения, так как $$2 - \sqrt{5} < 0$$, а корень должен быть неотрицательным.

Вместо этого попробуем $$(\sqrt{5} - 2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$$. Теперь все в порядке, так как $$\sqrt{5} - 2 > 0$$. Тогда $$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = |\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$$.

Ответ: $$\sqrt{5} - 2$$