23 Биссектриса угла В параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке Р. Найдите периметр параллелограмма, если АР = 8, PD = 12.

Пусть дан параллелограмм ABCD, биссектриса угла B пересекает сторону AD в точке P, AP = 8, PD = 12.

Так как BP - биссектриса угла ABC, то $$\angle ABP = \angle CBP$$.

Так как BC || AD, то $$\angle CBP = \angle BPA$$ как накрест лежащие углы.

Тогда $$\angle ABP = \angle BPA$$, следовательно, треугольник ABP - равнобедренный, и AB = AP = 8.

AD = AP + PD = 8 + 12 = 20.

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то AB = CD = 8 и AD = BC = 20.

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон, то есть

$$P = AB + BC + CD + AD = 8 + 20 + 8 + 20 = 56$$.

Ответ: 56