23. Биссектриса угла $$B$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекает сторону $$AD$$ в точке $$P$$. Найдите периметр параллелограмма, если $$AP = 9$$, $$PD = 13$$.

Решение: 1. Так как $$BP$$ - биссектриса угла $$B$$, то $$\angle ABP = \angle CBP$$. 2. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит $$BC \parallel AD$$. Следовательно, $$\angle CBP = \angle APB$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$BP$$. 3. Из равенства $$\angle ABP = \angle CBP$$ и $$\angle CBP = \angle APB$$ следует, что $$\angle ABP = \angle APB$$. Значит, треугольник $$ABP$$ - равнобедренный, и $$AB = AP = 9$$. 4. Сторона $$AD = AP + PD = 9 + 13 = 22$$. Так как $$AD = BC$$, то $$BC = 22$$. 5. Периметр параллелограмма равен $$P = 2(AB + BC) = 2(9 + 22) = 2(31) = 62$$. Ответ: Периметр параллелограмма равен 62.