Билет №8. 1. Определение подобных треугольников. Признаки подобия. Первый признак подобия треугольников (доказательство). 2. В \( \triangle ABC \) \( AB > BC > AC \). Найти \( \angle A, \angle B, \angle C \), если известно, что один из углов треугольника равен 120°, а другой 40°.

1. Подобные треугольники и первый признак подобия

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Первый признак подобия треугольников (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

Пусть даны \( \triangle ABC \) и \( \triangle A'B'C' \) такие, что \( \angle A = \angle A' \) и \( \angle B = \angle B' \).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то \( \angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) \) и \( \angle C' = 180^{\circ} - (\angle A' + \angle B') \).

Поскольку \( \angle A = \angle A' \) и \( \angle B = \angle B' \), то \( \angle C = \angle C' \).

Таким образом, все соответствующие углы равны, что означает подобие треугольников \( \triangle ABC \) ~ \( \triangle A'B'C' \).

2. Решение задачи

Дано:

\( \triangle ABC \)

\( AB > BC > AC \).

Один из углов равен \( 120^{\circ} \), другой — \( 40^{\circ} \).

Найти:

\( \angle A, \angle B, \angle C \).

Решение:

1. Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^{\circ} \).
2. У нас есть два угла: \( 120^{\circ} \) и \( 40^{\circ} \).
3. Третий угол равен \( 180^{\circ} - 120^{\circ} - 40^{\circ} = 20^{\circ} \).
4. Углы треугольника равны \( 120^{\circ}, 40^{\circ}, 20^{\circ} \).
5. По условию \( AB > BC > AC \). В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей стороны — меньший угол.
6. Угол, противолежащий стороне \( AC \) (самой меньшей), равен \( \angle B \). Следовательно, \( \angle B = 20^{\circ} \).
7. Угол, противолежащий стороне \( BC \) (средней), равен \( \angle A \). Следовательно, \( \angle A = 40^{\circ} \).
8. Угол, противолежащий стороне \( AB \) (самой большей), равен \( \angle C \). Следовательно, \( \angle C = 120^{\circ} \).

Ответ: \( \angle A = 40^{\circ} \), \( \angle B = 20^{\circ} \), \( \angle C = 120^{\circ} \).