Билет №7. 1. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора (определение и доказательство). 2. Отрезок AD – биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F. Найти углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°.

1. Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов равен 90°.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формула: \( c^2 = a^2 + b^2 \), где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты.

2. Решение задачи

Дано:

\( \triangle ABC \), \( AD \) — биссектриса.

Прямая \( DF \parallel AB \), \( F \in AC \).

\( \angle BAC = 72^{\circ} \).

Найти:

Углы \( \triangle ADF \).

Решение:

1. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( AD \) — биссектриса \( \angle BAC \), значит \( \angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 72^{\circ} = 36^{\circ} \).
2. Так как \( DF \parallel AB \), то \( \angle AFD = \angle BAC = 72^{\circ} \) как соответственные углы при параллельных прямых \( DF \) и \( AB \) и секущей \( AC \).
3. В \( \triangle ADF \):
• \( \angle FAD = \angle CAD = 36^{\circ} \) (так как \( F \) лежит на \( AC \) и \( D \) на \( BC \)).
• \( \angle AFD = 72^{\circ} \) (из пункта 2).
• \( \angle ADF = 180^{\circ} - (\angle FAD + \angle AFD) = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника ADF равны: \( \angle FAD = 36^{\circ} \), \( \angle AFD = 72^{\circ} \), \( \angle ADF = 72^{\circ} \).