Билет 5. 1. Определение и свойство вертикальных углов. 2. Сформулировать свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. 3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, на 50° меньше другого. Найти эти углы. 4. Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника, если угол BMC=140°.

Решение:

1. Вертикальные углы — это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла. Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.
2. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.
3. Решение: Пусть один угол равен \( x \). Тогда другой угол равен \( x + 50^\circ \).
   Эти углы смежные, значит, их сумма равна \( 180^\circ \>.
   \( x + (x + 50^\circ) = 180^\circ \)
   \( 2x + 50^\circ = 180^\circ \)
   \( 2x = 130^\circ \)
   \( x = 65^\circ \).
   Один угол равен \( 65^\circ \), а другой \( 65^\circ + 50^\circ = 115^\circ \>.
   

   Ответ: Углы равны \( 65^\circ \) и \( 115^\circ \).

4. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( BH \perp AB \), \( CK \perp AC \), \( BH \cap CK = M \), \( \angle BMC = 140^\circ \).
   Найти: \( \angle A, \angle B, \angle C \).
   Решение:
   1. Рассмотрим \( \triangle BCM \). \( \angle MBC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).
   2. \( CK \perp AC \), значит, \( \angle KCA = 90^\circ \).
   3. \( BH \bot AB \), значит, \( \angle HBA = 90^\circ \).
   4. В \( \triangle ABC \) \( \angle B = \angle C \).
   \( \angle KCB = \angle C - \angle KCA = \angle C - 90^\circ \) - это неверно, так как \( CK \) - высота, а не часть \( \angle C \).
   Рассмотрим четырехугольник \( BKMC \). Сумма его углов равна \( 360^\circ \>.
   \( \angle KBC + \angle BCM + \angle CMK + \angle CKB = 360^\circ \).
   \( \angle KBC \) - это \( \angle ABC \), \( \angle BCM \) - это \( \angle C \) из \( \triangle ABC \).
   \( \angle BKC = 90^\circ \) (т.к. \( CK \perp AC \)).
   \( \angle CBM = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).
   В \( \triangle BMC \), \( \angle MCB = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \).
   \( \angle C = \angle MCB = 50^\circ \>.
   Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный, то \( \angle B = \angle C = 50^\circ \>.
   \( \angle A = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \>.
   Проверка: \( BH \perp AB \), \( CK \perp AC \). \( \angle ABC = 50^\circ \), \( \angle ACB = 50^\circ \>, \( \angle BAC = 80^\circ \>.
   \( \angle B_{внешний} = 180 - 50 = 130^\circ \) - не совпадает с 102. Надо пересмотреть.
5. Пересмотр решения задачи 4:
   Рассмотрим \( \triangle ABM \). \( \angle BAM = \angle A/2 \) (т.к. \( AB=AC \) и \( AM \) - биссектриса, медиана, высота - но это не верно, \( AM \) не биссектриса).
   Рассмотрим \( \triangle ACK \) (где \( CK \perp AC \)). \( \angle AKC = 90^\circ \).
   Рассмотрим \( \triangle ABH \) (где \( BH \perp AB \)). \( \angle AHB = 90^\circ \>.
   В \( \triangle ABC \) \( \angle B = \angle C \>.
   Рассмотрим \( \triangle BMC \). \( \angle MBC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).
   \( CK \perp AC \) => \( \angle KCA = 90^\circ \).
   \( BH \bot AB \) => \( \angle HBA = 90^\circ \).
   В \( \triangle BCM \): \( \angle MBC + \angle MCB + \angle BMC = 180^\circ \>.
   \( \angle MBC \) - это часть \( \angle ABC \), \( \angle MCB \) - это часть \( \angle ACB \>.
   Рассмотрим \( \triangle AMC \). \( \angle MAC + \angle MCA + \angle AMC = 180^\circ \>.
   \( \angle AMC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \>.
   Пусть \( \angle ABC = \angle ACB = \beta \). Тогда \( \angle BAC = 180^ - 2\beta \>.
   В \( \triangle CKC \) (неправильно, \( CK \perp AC \) - это высота).
   В \( \triangle CKC \) (неправильно).
   В \( \triangle BKC \), \( \angle BKC = 90^\circ \).
   В \( \triangle BHC \), \( \angle BHC = 90^\circ \).
   Рассмотрим \( \triangle ABH \) и \( \triangle ACK \>.
   \( \angle BAH = \angle CAK = \angle A \>.
   \( \angle ABH = 90^\circ - \angle A \>.
   \( \angle ACK = 90^\circ - \angle A \>.
   Значит, \( \angle ABH = \angle ACK \>.
   \( \angle ABH \) - это часть \( \angle ABC \), \( \angle ACK \) - это часть \( \angle ACB \>.
   \( \angle ABC = \angle ACB \>.
   \( \angle ABH = \angle ABC - \angle HBC \>.
   \( \angle ACK = \angle ACB - \angle KCB \>.
   Пусть \( \angle ABC = \angle ACB = \beta \>.
   Тогда \( \angle BAC = 180^\circ - 2\beta \>.
   В \( \triangle ABM \) (неправильно).
   В \( \triangle BKC \): \( \angle BKC = 90^ \).
   В \( \triangle BCM \) — \( \angle BMC = 140^ \), \( \angle MBC + \angle MCB = 40^ \>.
   \( \angle MBC \) — это часть \( \angle ABC \), \( \angle MCB \) — это часть \( \angle ACB \>.
   Высоты \( BH \perp AB \) и \( CK \perp AC \).
   Рассмотрим \( \triangle ABH \). \( \angle AHB = 90^ \>.
   \( \angle ABH = 90^ - \angle BAH \>.
   \( \angle BAH = \angle BAC \>.
   \( \angle ABH = 90^ - \angle BAC \>.
   \( \angle ACK = 90^ - \angle BAC \>.
   \( \angle ABH = \angle ACK \>.
   \( \angle ABH \) - это угол между высотой \( BH \) и стороной \( AB \).
   \( \angle ABC = \beta \), \( \angle ACB = \beta \), \( \angle BAC = 180^ - 2\beta \>.
   \( \angle HBC = \angle ABC - \angle ABH = \beta - (90^ - (180^ - 2\beta)) = \beta - 90^ + 180^ - 2\beta = 90^ - \beta \>.
   \( \angle KCB = \angle ACB - \angle ACK = \beta - (90^ - (180^ - 2\beta)) = \beta - 90^ + 180^ - 2\beta = 90^ - \beta \>.
   \( \angle HBC = \angle KCB \>.
   В \( \triangle BMC \): \( \angle BMC = 140^ \). \( \angle MBC + \angle MCB = 40^ \>.
   \( \angle MBC = \angle ABC - \angle HBM \>.
   \( \angle HBM \) - это угол между высотой \( BH \) и стороной \( BC \).
   В \( \triangle ABH \): \( \angle AHB = 90^ \>.
   \( \angle ABH \) - это угол между высотой \( BH \) и стороной \( AB \>.
   Рассмотрим \( \triangle BHC \) (неправильно).
   Рассмотрим \( \triangle BKC \) (неправильно).
   В \( \triangle ABM \), \( \angle AMB = 180^ - 140^ = 40^ \>.
   \( \angle BAM \) - это часть \( \angle BAC \>.
   \( \angle ABM \) - это часть \( \angle ABC \>.
   Высоты \( BH \perp AB \) и \( CK \perp AC \).
   \( \angle ABC = \angle ACB = \beta \>.
   \( \angle BAC = 180^ - 2\beta \>.
   В \( \triangle ABH \), \( \angle AHB = 90^ \>.
   \( \angle ABH = 90^ - \angle BAH = 90^ - \angle BAC = 90^ - (180^ - 2\beta) = 2\beta - 90^ \>.
   \( \angle ACK = 90^ - \angle BAC = 2\beta - 90^ \>.
   \( \angle HBC = \angle ABC - \angle ABH = \beta - (2\beta - 90^) = 90^ - \beta \>.
   \( \angle KCB = \angle ACB - \angle ACK = \beta - (2\beta - 90^) = 90^ - \beta \>.
   В \( \triangle BMC \): \( \angle BMC = 140^ \>.
   \( \angle MBC = \angle ABC - \angle HBC = \beta - (90^ - \beta) = 2\beta - 90^ \>.
   \( \angle MCB = \angle ACB - \angle KCB = \beta - (90^ - \beta) = 2\beta - 90^ \>.
   \( \angle MBC = \angle MCB \>.
   \( \angle MBC + \angle MCB + \angle BMC = 180^ \>.
   \( (2\beta - 90^) + (2\beta - 90^) + 140^ = 180^ \>.
   \( 4\beta - 180^ + 140^ = 180^ \>.
   \( 4\beta - 40^ = 180^ \>.
   \( 4\beta = 220^ \>.
   \( \beta = 55^ \>.
   Значит, \( \angle B = \angle C = 55^ \>.
   \( \angle A = 180^ - 2 \cdot 55^ = 180^ - 110^ = 70^ \>.
   

   Ответ: \( \angle A = 70^\circ \), \( \angle B = 55^\circ \), \( \(\angle\) C = 55^\(\circ\) \>.