Билет 4. 1. Определение и свойство смежных углов. 2. Доказать (сформулировать) теорему о сумме углов треугольника. 3. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, а основание — 7см. Найти боковую сторону треугольника. 4. Внешний угол при вершине B треугольника ABC равен 102°. Биссектрисы углов A и C треугольника пересекаются в точке O. Найдите величину угла AOC. Дайте ответ в градусах.

Решение:

1. Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \).
2. Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов любого треугольника равна \( 180^\circ \).
3. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( P = 19 \) см, \( AC = 7 \) см.
   Найти: \( AB \) (боковую сторону).
   Решение: В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны: \( AB = BC \).
   Периметр \( P = AB + BC + AC \).
   \( 19 = AB + AB + 7 \)
   \( 19 = 2AB + 7 \)
   \( 2AB = 19 - 7 \)
   \( 2AB = 12 \)
   \( AB = 6 \) см.
   

   Ответ: \( AB = 6 \) см.

4. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle B_{внешний} = 102^\circ \), \( AO \) — биссектриса \( \angle A \), \( CO \) — биссектриса \( \angle C \).
   Найти: \( \angle AOC \).
   Решение:
   1. Найдем внутренний угол \( \angle B \): \( \angle B = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \).
   2. Найдем углы \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \): \( \angle BAC + \angle BCA + \angle B = 180^\circ \).
   \( \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ \).
   3. Так как \( AO \) и \( CO \) — биссектрисы, то они делят углы \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \) пополам:
   \( \angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC \)
   \( \angle OCA = \frac{1}{2} \angle BCA \>.
   4. Сумма углов в \( \triangle AOC \) равна \( 180^\circ \): \( \angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^\circ \).
   \( \angle AOC + \frac{1}{2} \angle BAC + \frac{1}{2} \angle BCA = 180^\circ \)
   \( \angle AOC + \frac{1}{2} (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ \)
   Подставим значение суммы \( \angle BAC + \angle BCA = 102^\circ \):
   \( \angle AOC + \frac{1}{2} (102^\circ) = 180^\circ \)
   \( \angle AOC + 51^\circ = 180^\circ \)
   \( \angle AOC = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ \>.
   

   Ответ: \( 129^\circ \).