Билет 3. 1. Определение угла. Обозначение угла. Построение угла, равного данному. 2. Сформулируйте признак равенства треугольников по трем сторонам. 3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 72°. Найдите угол при вершине. 4. Углы треугольника ABC относятся так: ∠A: ∠B: ∠C = 1:2:3. Биссектриса BM угла ABC равна 6. Найдите длину отрезка MC.

Решение:

1. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), исходящими из одной точки (вершины угла). Углы обозначаются тремя буквами (вершина посередине) или одной буквой (если вершина не совпадает с другими вершинами), например, \( \angle ABC \) или \( \alpha \).
   Построение угла, равного данному: 1. Проводим луч. 2. Из вершины данного угла описываем дугу, пересекающую его стороны. 3. Не меняя раствора циркуля, из начала луча описываем другую дугу. 4. Измеряем расстояние между точками пересечения сторон данного угла с дугой. 5. Этим раствором циркуля из точки пересечения второй дуги с лучом делаем засечку на дуге. 6. Соединяем начало луча с полученной точкой.
2. Признак равенства треугольников по трем сторонам: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( \angle A = \angle C = 72^\circ \).
   Найти: \( \angle B \).
   Решение: Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).
   \( \angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (72^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ \).
   

   Ответ: \( \angle B = 36^\circ \).

4. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A : \angle B : \angle C = 1:2:3 \), \( BM=6 \) (биссектриса).
   Найти: \( MC \).
   Решение: Пусть \( \angle A = x \). Тогда \( \angle B = 2x \) и \( \angle C = 3x \).
   Сумма углов треугольника: \( x + 2x + 3x = 180^\circ \) \( \Rightarrow 6x = 180^\circ \) \( \Rightarrow x = 30^\circ \).
   Значит, \( \angle A = 30^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \), \( \angle C = 90^\circ \).
   \( BM \) — биссектриса \( \angle ABC \), значит, \( \angle ABM = \angle CBM = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).
   Рассмотрим \( \triangle BMC \): \( \angle BMC = 180^\circ - \angle CBM - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ \).
   \( \triangle BMC \) — прямоугольный с углами \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \).
   В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы. В \( \triangle BMC \) катет \( MC \) лежит против угла \( \angle CBM = 30^\circ \).
   Следовательно, \( MC = \frac{1}{2} BM = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \).
   

   Ответ: \( MC = 3 \).