Билет 4. 1. Дайте определение прямоугольного треугольника, сформулируйте свойства прямоугольного треугольника (без доказательства), сделайте чертёж. 2. Доказать теорему о сумме углов треугольника. 3. Доказать равенство треугольников ADM и AFE. На рисунке диагонали DF и ME пересекаются в A; отмечено, что AM = AE и углы DMA и AEF равны. 4. Один из внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, в 3 раза больше другого. Чему равны эти углы?

1. Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого прямой. В чертеже ∠C = 90°, AB — гипотенуза, AC и BC — катеты.

Свойства: сумма острых углов равна 90°; гипотенуза больше каждого катета; медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

2. Теорема: сумма углов любого треугольника равна 180°.

1. Проведём через вершину A прямую, параллельную стороне BC.
2. Углы, образованные этой прямой со сторонами AB и AC, соответственно равны углам B и C как накрест лежащие при параллельных прямых.
3. Эти два угла вместе с углом A образуют развёрнутый угол, равный 180°.

Следовательно, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

3. Рассмотрим треугольники ADM и AFE. По отметкам AM = AE и ∠DMA = ∠AEF. Углы DAM и FAE — вертикальные, поэтому они равны. Значит, равны сторона AM и заключённые между ней углы: ∠DAM = ∠FAE и ∠DMA = ∠AEF. По стороне и двум прилежащим к ней углам треугольники равны: △ADM = △AFE (соответствие A↔A, D↔F, M↔E).

4. Внутренние односторонние углы при параллельных прямых в сумме равны 180°. Пусть меньший угол равен x°, тогда больший — 3x°.

x + 3x = 180; 4x = 180; x = 45.

Больший угол: 3 · 45° = 135°.

Ответ: 45° и 135°.